家庭教育17和51的最大公因数是17，最小公倍数是51。
分析过程如下：17=1*17，51=3*17，则17和51的最大公因数是17。17和51的最小公倍数=3*17=51，即17和51的最大公因数是17，17和51的最小公倍数是51。
最大公因数有两种算法，第一种是短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把这几个数的所有的共同约数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。第二种是质因数分解法，把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公因数。
最小公倍数也有两种求解方法，第一种是分解因式法，第一步把这几个数的质因数写出来，然后最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积。第二种是公式法由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。因此最小公倍数就等于两个数的乘积除以两个数的最大公约数。